Funicion Cuadrática

matemáticas II
tema: funcion cuadrática
La ecuación de esta forma siendo:
ax+bx+c=0 CONCAVIDAD A+: Sucede cuando la parábola se abre hacia arriba si el parámetro ¨A¨ es mayor que cero (A>0).

A-: Sucede lo contrario que en el parámetro (A+)

A, numero elevado: Sucede cuando la concavidad de la parábola en la intersección del eje de las ¨X¨ es mayor.

A, un número menor: Sucede cuando el eje de las ¨X¨ (A) es menor.

INFECCIONES DE Y Cuando x es 0 Que da el valor de c Por ejemplo aquí la gracifa de intersección con y es de 4 Para que encontrar las intersecciones con x hay dos formas de sacarlo 1=.- Factorizacion
Cualquier numero sumado de ¨B¨ en la ecuacion y multiplicado ¨C¨. (x+B) (x+C) =0 =0 Igualarlas a 0
2).- Formula General

COORDENADAS DEL VÉRTICE
Se da mediante la Formula del Vértice v=(h,k) A partir de esta Formula para encontrar el valor de ¨ H¨ es H=-b
  2a

Dado este resultado, podemos sacar el valor faltante que es ¨K¨
mediante la función de K=f(h).

DOMINIO DE LA FUNCIÓN
D(x) = R(x)
Rango(y)= ¨Y¨ Puede ser cualquier numero real, mayor o menor a este, dependiendo del problema.

Funciones Especiales parte II

Función elemental cuadrática

Es cuando una función esta construida por una cantidad de funciones elementales mediante operaciones racionales 

Función raíz cuadrada 

Las funciones raíz cuadrada las escribimos de la forma: 

cuyo dominio son todos los números reales positivos (0, ∞), lo cual significa que x no puede ser negativo. Si el valor de x fuese negativo no sería una  función raíz cuadrada.

La gráfica de una función raíz cuadrada corresponde a la mitad de una parábola como las que conocemos de la función cuadratica, pero en este caso el eje de simetría  de la media parábola es horizontal (paralelo al eje de las abscisas).

Función por partes 

En esta la regla de correspondencia cambia dependiendo del valor de la variable dependiente 

Formalmente, una función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos disjuntos de su dominio (conocidos como subdominios).

Función escalonada 

Es la que en su gráfica tiene los términos en forma de escalera o escalonadamente. La composición de cualquier función escalonada s(x) y una función cualquiera f(x) da por resultado una función escalonada g(x) = f(s(x)), siempre que f(x) esté definida para cualquier valor de x en el rango de s(x).

Funciones especiales parte I

Función constante:  es la que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable dependiente 

f(x)=c 

Como se puede ver es una recta horizontal en el plano cartesiano, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos:

tenemos:

donde c tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas:

Como la variable dependiente y no depende de x tenemos que:

la variación de y respecto a x es cero

La integral de la función constante:

es:

Función valor identidad 

Es cuando un conjunto se devuelve su propio argumento 

La función identidad de números reales puede describirse de la forma siguiente:

o también:

La función identidad es trivialmente idempotente , es decir:

Función valor absoluto 

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 

4. Representamos la función resultante 

Ejemplo: 

Función elemental cuadrática 

Es cuando una función esta construida por una cantidad de funciones elementales mediante operaciones racionales 

Función raíz cuadrada 

Las funciones raíz cuadrada las escribimos de la forma: 

cuyo dominio son todos los números reales positivos (0, ∞), lo cual significa que x no puede ser negativo. Si el valor de x fuese negativo no sería una  función raíz cuadrada.

La gráfica de una función raíz cuadrada corresponde a la mitad de una parábola como las que conocemos de la función cuadratica, pero en este caso el eje de simetría  de la media parábola es horizontal (paralelo al eje de las abscisas).

El gráfico de la función raíz cuadrada es:

Función por partes 

En esta la regla de correspondencia cambia dependiendo del valor de la variable dependiente 

Formalmente, una función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos disjuntos de su dominio (conocidos como subdominios).

Función escalonada 

Es la que en su gráfica tiene los términos en forma de escalera o escalonadamente. La composición de cualquier función escalonada s(x) y una función cualquiera f(x) da por resultado una función escalonada g(x) = f(s(x)), siempre que f(x) esté definida para cualquier valor de x en el rango de s(x).

Como caso general podemos ver la función y = s(x), definida así:

En el intervalo cerrado [-1, 5] de números reales sobre los números reales, asociando a cada x de [-1,5] un valor de y, según el siguiente criterio:

Esta función tiene cuatro intervalos escalonados, como se ve en la figura.

Inversa de la función

Esos son los pasos, pues entender por medio de un ejemplo:

F(x) =4 x -5 

1. Sustituir f(x) con "y"

     y=4x-5

2. Intercambiar "y" por "x" 

     X= 4y-5

3. Despejar "y" de la función 

     X+5=4y

     X+5/4=y

4. Volver a poner todo en f-1(x)=x/4+5/4

    f-1(x)=x/4+5/4

    f(x)={(3,4)(6,4)8,5)}

    f-1(x) {(4,3)(6,4)(8,5)}

REGLA DE CORRESPONDENCIA

Ahora vamos a explicar un poco lo que es una regla de correspondencia 

Para f: A - B  f " es una función de A en B"

Si el elemento x que pertenece al conjunto A el elemento que le corresponde es y.

    Entonces:    y=f(x) 

Ejemplo: 

          1. f(x) = x2-1

              f(5)=5 cuadrado -1

              f (5)=25-1

              f(5)= 24 

Función compuesta

f(x) y g(x) son funciones ahora haremos f(g(x)) 

Ejemplos:

1.- f(x)=x^2-2x          g(x)= 3x-4 

f(g(3))= 3(3)-4 =5 

f(5)= 5^2-2(5) 

f(5)= 25-10

f(5)= 15 

f(g(3))= 15 

2.- f(x)= 4x^2-x+3         g(x)=2x-5 

Hallar g(f(x))

g(4x^2-x+3)= 2(4x^2-x+3) -5 

                    "= 8x^2-2x+6-5

                     "= 8x^2-2x+1 

Operaciones con función

Suma:
f(x)+g(x)
Resta:
f(x)-g(x)
Multipilicacion:
f(x) *g(x)
División:
f(x)/ g(x)


Ejemplo:
f(x)= x-4     g(x)= x^2-16

A. f(x)+g(x)
  = (x-4)+(x^2-16)
  = x^2+x-20

B. f(x)-g(x)
  = (x-4)-(x^2-16)
  = x-4-x^2 -16
  = x^+x+12

C. f(x)*g(x)
  = (x-4)(x^2-16).
  = x^3-16x-4x^2+64

D. f(x)/g(x)
  = x-4/x^2-16
  = x-4/ (x+4)(x-4)    Sume 0 y multiplicando sea -16
  = 1/x+4