Funciones Especiales parte II

Función elemental cuadrática

Es cuando una función esta construida por una cantidad de funciones elementales mediante operaciones racionales 

Función raíz cuadrada 

Las funciones raíz cuadrada las escribimos de la forma: 

cuyo dominio son todos los números reales positivos (0, ∞), lo cual significa que x no puede ser negativo. Si el valor de x fuese negativo no sería una  función raíz cuadrada.

La gráfica de una función raíz cuadrada corresponde a la mitad de una parábola como las que conocemos de la función cuadratica, pero en este caso el eje de simetría  de la media parábola es horizontal (paralelo al eje de las abscisas).

Función por partes 

En esta la regla de correspondencia cambia dependiendo del valor de la variable dependiente 

Formalmente, una función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos disjuntos de su dominio (conocidos como subdominios).

Función escalonada 

Es la que en su gráfica tiene los términos en forma de escalera o escalonadamente. La composición de cualquier función escalonada s(x) y una función cualquiera f(x) da por resultado una función escalonada g(x) = f(s(x)), siempre que f(x) esté definida para cualquier valor de x en el rango de s(x).

Funciones especiales parte I

Función constante:  es la que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable dependiente 

f(x)=c 

Como se puede ver es una recta horizontal en el plano cartesiano, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos:

tenemos:

donde c tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas:

Como la variable dependiente y no depende de x tenemos que:

la variación de y respecto a x es cero

La integral de la función constante:

es:

Función valor identidad 

Es cuando un conjunto se devuelve su propio argumento 

La función identidad de números reales puede describirse de la forma siguiente:

o también:

La función identidad es trivialmente idempotente , es decir:

Función valor absoluto 

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 

4. Representamos la función resultante 

Ejemplo: 

Función elemental cuadrática 

Es cuando una función esta construida por una cantidad de funciones elementales mediante operaciones racionales 

Función raíz cuadrada 

Las funciones raíz cuadrada las escribimos de la forma: 

cuyo dominio son todos los números reales positivos (0, ∞), lo cual significa que x no puede ser negativo. Si el valor de x fuese negativo no sería una  función raíz cuadrada.

La gráfica de una función raíz cuadrada corresponde a la mitad de una parábola como las que conocemos de la función cuadratica, pero en este caso el eje de simetría  de la media parábola es horizontal (paralelo al eje de las abscisas).

El gráfico de la función raíz cuadrada es:

Función por partes 

En esta la regla de correspondencia cambia dependiendo del valor de la variable dependiente 

Formalmente, una función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos disjuntos de su dominio (conocidos como subdominios).

Función escalonada 

Es la que en su gráfica tiene los términos en forma de escalera o escalonadamente. La composición de cualquier función escalonada s(x) y una función cualquiera f(x) da por resultado una función escalonada g(x) = f(s(x)), siempre que f(x) esté definida para cualquier valor de x en el rango de s(x).

Como caso general podemos ver la función y = s(x), definida así:

En el intervalo cerrado [-1, 5] de números reales sobre los números reales, asociando a cada x de [-1,5] un valor de y, según el siguiente criterio:

Esta función tiene cuatro intervalos escalonados, como se ve en la figura.

Inversa de la función

Esos son los pasos, pues entender por medio de un ejemplo:

F(x) =4 x -5 

1. Sustituir f(x) con "y"

     y=4x-5

2. Intercambiar "y" por "x" 

     X= 4y-5

3. Despejar "y" de la función 

     X+5=4y

     X+5/4=y

4. Volver a poner todo en f-1(x)=x/4+5/4

    f-1(x)=x/4+5/4

    f(x)={(3,4)(6,4)8,5)}

    f-1(x) {(4,3)(6,4)(8,5)}

REGLA DE CORRESPONDENCIA

Ahora vamos a explicar un poco lo que es una regla de correspondencia 

Para f: A - B  f " es una función de A en B"

Si el elemento x que pertenece al conjunto A el elemento que le corresponde es y.

    Entonces:    y=f(x) 

Ejemplo: 

          1. f(x) = x2-1

              f(5)=5 cuadrado -1

              f (5)=25-1

              f(5)= 24 

Función compuesta

f(x) y g(x) son funciones ahora haremos f(g(x)) 

Ejemplos:

1.- f(x)=x^2-2x          g(x)= 3x-4 

f(g(3))= 3(3)-4 =5 

f(5)= 5^2-2(5) 

f(5)= 25-10

f(5)= 15 

f(g(3))= 15 

2.- f(x)= 4x^2-x+3         g(x)=2x-5 

Hallar g(f(x))

g(4x^2-x+3)= 2(4x^2-x+3) -5 

                    "= 8x^2-2x+6-5

                     "= 8x^2-2x+1 

Operaciones con función

Suma:
f(x)+g(x)
Resta:
f(x)-g(x)
Multipilicacion:
f(x) *g(x)
División:
f(x)/ g(x)


Ejemplo:
f(x)= x-4     g(x)= x^2-16

A. f(x)+g(x)
  = (x-4)+(x^2-16)
  = x^2+x-20

B. f(x)-g(x)
  = (x-4)-(x^2-16)
  = x-4-x^2 -16
  = x^+x+12

C. f(x)*g(x)
  = (x-4)(x^2-16).
  = x^3-16x-4x^2+64

D. f(x)/g(x)
  = x-4/x^2-16
  = x-4/ (x+4)(x-4)    Sume 0 y multiplicando sea -16
  = 1/x+4

dominio de una relación expresada mediante una ecuación

El mayor conjunto de números reales para el que está definida la expresión.
 Evitar:
 A) x/0
 B) √ -x = į

Ejemplos:
1.- Y= 2x-5 / x-1
 Dom(R) ={x=R|x ≠-1}
R: números reales
|: tal que
≠: Diferencia

Se lé así: dominio de la relación igual a x igual a números reales tal que x se diferente a -1

2.- y= 2x-5/x-1
Dom(R)={x=R|x≠ -7}

3.- 3x-5/x^2-16
 (X+4)(x-4) que sume 0 y multiplique a -16
 Dom(R)={x=R|x≠4 y x≠-4}

4.- y= 2x+7/ x^2-7x
x(x-7)
Dom(R)={x=R|x≠ y x≠7}

5.- √x-9
Dom(R)= {x=R|x_>9}

Es puede leer así -dominio de la relación es igual al conjunto de los valores de x sea igual a un número real tal que x sea mayor o igual a 9"  por que 0 es un número real.

Relaciones e Intervalos

*  Bien ahora veremos esta nueva forma de hacer posible un intervalo y sus relaciones
   DOMINIO: Es el con conjunto de los valores que puede tomar la variable X

   RANGO:  Es el conjunto de valores que puede tomar la variable Y

   *Para descubrir el dominio y el rango de una relación que ultiza los símbolos empleados o bien lo        que necesitamos , los cuales son sustituciones de los números reales

Ejemplo: Tenemos los numeros reales de ejemplo A y B
                   Donde A es menor que B (a<b)

Mayores o iguales a A y menores o iguales a B
-[-------]-               [a,b]       a<_x<_b
A       B

Los corchetes como el signo <_ indican que el intervalo incluye los números reales a y b .

Mayores que A y menores que B
 --(--------)--       (a,b)     a<x<b    
   A          B
Los paréntesis encierran los números a y b indican que el intervalo no incluye esos números.
No confundas el intervalo con el par ordenado. El intervalo representa el conjunto de números reales mayores que a pero menores que b y el ordenando significa que al valor x=a le corresponde el valor de y=b.
Mayores que A pero menores o iguales que B
--(-------]--      a<x<_b    (a,b]
  A        B
Mayores o iguales que A y menores que B
--[-------)--      a<_x<b
  A       B
Mayores o iguales a A
--[-------|----    [a, + ∞)      x_>a
  A
Mayores que A
---(-------|--    (a,+ ∞)       x>a
   A
Menores que A
--)-------|--        (- ∞,a)    x<a
  A
Menores o iguales que A
--]------|--        (- ∞,a]     x<_a
  A
El conjunto de los números reales
---|--------|---        (- ∞, ∞)       Mediante el símbolo R  
   A         B

Clasificación de funciones

Función  Suprayectiva 
Es cuando todo condominio forma parte del rango
Función Inyectiva 
Es cuando cada elemento del A le corresponde a un único elemento del B
Función Biyectiva  
Cuando todo elemento del B es una imagen de un solo elemento del B
Función Creciente
Si f(x2) >f(x1)
Función Decreciente 
Si f(x2) = f(x1)
Función Continua 
Cuando la gráfica no tiene interrupciones o "rupturas"
Función Discontinua 
Cuando la función no es continua
Función Par
Si toda "x" y su inverso aditivo "-x"  f(x)= f(-x)
Función Impar 
Si toda "x" y su inverso aditivo "-x" se cumple que f(-x) = -f(x)
Función Algebraicas 
Una combinación de operaciones  * f(x)= 4x-5 *f(x)= x-5/x+3
Función Implícita
Una ecuación de "x" y "y"  * 2x+y=5
Función Explícita
Despejar "y" de la "x"  * y= f(x)

Producto Cartesiano De Conjunto

- El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados (a,b)
Ejemplo:

A= (1,2,3) B= (x,y)

AxB= (1,x) (1,y) (2,x) (2,y) (3,x) (3,y)
BxA= (x,1) (x,2) (x,3) ( y,1) (y,2) (y,4)
AxA= (1,1) (1,2) (1,3)

Unos Ejercicios:
1.-  A= (2,4)  B= (x,y,z)  determina AxB
AxB= (2,x) (2,y) (2,z) (4,x) (4,y) (4,z)
2.- B= (2,4,6) halla BxB
BxB= (2,2) (2.4) (2,6) (4,2) (4,4) (4,6) (6,2) (6,4) (6,6)
3.-  A= (4,8)  B= (x,y,z) determina BxA
BxA= (x,4) (x,8) (y,4) (y,8) (z,4) (z,8)


RELACIONES:
A= (1,2,3)   B= (2,,4,6,8,10)



                

Rango: son los elementos del condominio que participan en la relación.
Ran(R)= (2,4,6)